Diferencias e integracion numérica..
DIFERENCIACION NUMERICA
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es
un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando
la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser
muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
DIFERENCIACION NUMERICA
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es
un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando
la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser
muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Para el caso de una función lineal, ƒ (x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1)
resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en
general no siempre resulta exacta.
A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1)
usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.
La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el
error y este se conoce como término de error.
Ejemplo.
INTEGRACION NUMERICA
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución
aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una
ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para
ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser
aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados
específicamente para el problema formulado como una integral definida.
INTEGRACION MULTIPLE
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su
representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido
por la ecuación y una región en el espacio definido por los ejes de las
variables independientes de la función (si es una región cerrada y
acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen situado
entre la superficie definida por y una región en el plano es igual a
alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está definida en .
puede dividirse en una partición interior formada por subregiones
rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . La
norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las
subregiones.
Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con
dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede
construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto
definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el
objeto definido por la ecuación y la región mediante la suma de
Riemann de las magnitudes de los espacios correspondientes a cada
una de las subregiones:
Esta aproximación mejora a medida que el número de subregiones se hace mayor.
Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el
número de subregiones disminuirá la norma de la partición:
El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para
todo existe un tal que
para toda partición de la región (que satisfaga ), y para todas las
elecciones posibles de en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de
una integral múltiple:
Si está definida en una región cerrada y acotada del definido por los
ejes de las variables independientes de f, la integral de sobre está dada
por:
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es
un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando
la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser
muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
DIFERENCIACION NUMERICA
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es
un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando
la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser
muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Para el caso de una función lineal, ƒ (x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1)
resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en
general no siempre resulta exacta.
A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1)
usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.
La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el
error y este se conoce como término de error.
Ejemplo.
INTEGRACION NUMERICA
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución
aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una
ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para
ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser
aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados
específicamente para el problema formulado como una integral definida.
INTEGRACION MULTIPLE
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su
representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido
por la ecuación y una región en el espacio definido por los ejes de las
variables independientes de la función (si es una región cerrada y
acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen situado
entre la superficie definida por y una región en el plano es igual a
alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está definida en .
puede dividirse en una partición interior formada por subregiones
rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . La
norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las
subregiones.
Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con
dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede
construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto
definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el
objeto definido por la ecuación y la región mediante la suma de
Riemann de las magnitudes de los espacios correspondientes a cada
una de las subregiones:
Esta aproximación mejora a medida que el número de subregiones se hace mayor.
Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el
número de subregiones disminuirá la norma de la partición:
El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para
todo existe un tal que
para toda partición de la región (que satisfaga ), y para todas las
elecciones posibles de en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de
una integral múltiple:
Si está definida en una región cerrada y acotada del definido por los
ejes de las variables independientes de f, la integral de sobre está dada
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